Im ersten Teil unserer Artikelreihe zur Raumakustik haben wir die Auswirkung von Schallreflexion im mittleren und hohen Frequenzbereich betrachtet. Wir sind dabei näher auf die durch Direkt- und Indirektschall hervorgerufenen Veränderungen des Klangbildes eingegangen. Im Tieftonbereich kommt ein anderer Effekt zum Tragen, den wir im folgenden etwas näher betrachten wollen. Es handelt sich dabei um die Entstehung von stehenden Wellen bei den Raumresonanzfrequenzen.

Das Prinzip der stehenden Welle lässt sich besonders gut am Schwingen einer Gitarrensaite erkenntlich machen (siehe Bild oben). Wird die Saite um ihre Ruheposition ausgelenkt und anschließend losgelassen, so wandert die Auslenkung wellenförmig von der Startposition aus zu den beiden Enden der Saite.Allerdings kann sich diese Welle nicht über die feste Einspannung hinaus fortpflanzen. Daher wird sie am Ende der Saite reflektiert. Es kommt zu einer Überlagerung der hinlaufendenund rücklaufenden Welle. Die Wellen laufen nun so lange vom einen Saitenende zum anderen und wieder zurück, bis ihre Energie durch Reibung vollständig aufgebraucht ist. Durch Interferenzeffekte kommt es dabei in weiten Frequenzbereichen zu einer vollständigen Auslöschung der Wellen. Nurbei den sogenannten Resonanzfrequenzen bildet sich ein stationäres Schwingungsmuster aus. Dieses Muster wird als stehende Welle bezeichnet. Charakteristisch für stehende Wellen ist, dass bestimmte Orte innerhalb des Schwingungsmusters keinerlei Auslenkung um die Ruhelage erfahren. Diese Orte bezeichnet man auch als Schwingungsknoten. Alle andere Orte pendeln mehr oder weniger stark um ihre Ruheposition. Orte, an denen diese periodische Auslenkung den Maximalpegel erreicht, werden auch Schwingungsbäuche genannt. Dadurch, dass sowohl Knoten, als auch Bäuche ortsfest sind, sieht das sich ergebende Schwingungsmuster aus wie einefeststehende Welle, was die Namensgebung erklärt.
 

Wichtig ist es zu wissen, dass die Gitarrensaite nicht nur mit einer einzelnen Frequenz schwingt. Charakteristisch ist zunächst die Grund- oder Eigenschwingung. Diese Schwingung macht die Tonhöhe des hörbaren Tones aus. Wie im Bild oben zu sehen ist die Grundschwingung dadurch gekennzeichnet, dass genau eine halbe Wellenlänge auf die Länge der Saite passt. Die Grundschwingungbesitzt also einen Bauch und keine Knoten, wenn man mal von den Knoten an der Einspannung der Saite absieht. Des weiteren schwingt die Saite mit Harmonischen erster bis h-ter Ordnung. Die Harmonischen sind für den satten angenehmen Klang der Gitarre verantwortlich.

Die erste Harmonische liegt bei der doppeltenFrequenz der Eigenschwingung. Demnach passt hier eine ganze Wellenlänge bzw. ein Knoten und zwei Bäuche auf die Saite. Die zweite Harmonische schwingt mit der dreifachen Frequenz derGrundschwingung. Es passen eineinhalb Wellenlängen der zweiten Harmonischen auf die Saite und damit zwei Knoten und drei Bäuche. Dieses Schema setzt sich weiter fort. Allgemein kann man schreiben:

Diese Formel gibt eine Berechnungsmöglichkeit der Wellenlänge für höhere Harmonische bei gegebener Länge L der Saite.

Sicher kennen Sie den Unterschied wenn man an der Gitarre das "a" spielt und einen Sinusgenerator einen Sinuston mit einer Frequenz von 440Hz wiedergeben lässt. Beide Töne schwingen (grob) mit der gleichen Frequenz, dennoch klingt die Gitarre angenehm und harmonisch, während der Sinusgenerator eher einen unangenehm schrillen Pfeifton von sich gibt. Das liegt daran, dass der Sinusgenerator wirklich nur eine Schwingung von exakt 440Hz ausgibt. Die Gitarre spielt in Wirklichkeit nicht exakt bei 440Hz. Aufgrund der Oberschwingungen (=Harmonischen) kommen Frequenzkomponenten hinzu, die dem Sinussignal aus dem Generator fehlen. Der Generator klingt aus diesem Grund kühl, schrill und unangenehm.

Betrachten wir nun wieder unseren Hörraum. Auch hier bilden sich unweigerlich stehende Wellen, solange irgendwo im Raumparallel verlaufende Flächen vorhanden sind, was zumindest bei Decke und Boden fast immer der Fall sein dürfte. Je mehr parallele Flächen vorhanden sind, desto stärker wird die Bildung von Resonanzen begünstigt.Diese parallelen Flächen wirken auf die Schallwellen wie die Einspannungen der Gitarrenseite auf die Saitenschwingungen. Die Schallwellen werden von der Wand reflektiert und überlagern sich mit der hinlaufenden Welle. Genau wie die Welle auf der Gitarrensaite wandert nun die Schallwelle immer wieder zwischen den beiden parallelen Wänden hin und her, bis ihre Energie aufgebraucht ist. Es entsteht eine stehende Welle. Die Länge der Gitarrensaite wird dabei vom Abstand zwischen den Wänden übernommen. Dieser Abstand misst in der Regel einige Meter, weshalb sich in der Praxis nur stehende Wellen im Tieftonbereich bilden können. Man spricht auch von den Eigenmoden des Raumes.

Die obige Überschlagsrechnung zeigt deutlich, dass die dominierenden Eigenschwingungen bzw. die Resonanzfrequenzen des Raumes im Bassbereich liegen. In der Praxis lassen sich die Frequenzen der stehenden Wellen leider bei weitem nicht so einfachwie in unserer Überschlagsrechnung berechnen. Der Grund dafür ist darin zu suchen, dass sich die stehenden Wellen anders als bei der Gitarrensaite nicht nur inzwei Dimensionen ausbilden, sondern in dreien. Auf diese Weise sind bei geometrisch kompliziert konstruierten Räumenextrem aufwendige mathematische Rechnungen nötig, um die Resonanzfrequenzen des Raumes zu bestimmen. Mittels Taschenrechner sind diese Rechnungen nicht vernünftig durchzuführen. Im folgenden soll daher nur gezeigt werden, wie für einen quaderförmigen Raum mit ideal reflektierenden Wänden (α = 0) überschlagsmäßig alle Resonanzfrequenzen bis zweiter Ordnung gefunden werden können. Wer sich die Arbeit deutlich erleichtern will, der sollte ein gutes Raumsimulationscomputerprogramm ins Auge fassen. Beispiele finden Sie am Textende.

Aufgrund der dreidimensionalen Anordnung der Wände eines Hörraumes haben wir es bei den folgenden Berechnungen mit einer recht komplexen Formel zu tun:

Diese Formel bedarf sicherlich noch einiger Erklärung. Zunächst stellt v die Schallgeschwindigkeit innerhalb des Raumes dar. Da ein üblicher Hörraum sicher immer mit Luft gefüllt ist, gilt bei 20 °C in etwa v = 340 m/s. Unter der Quadratwurzel stehen mehrere Buchstaben L mit Index x, y, z. Dabei ist L_x die Raumabmessung inx-Richtung eines willkürlich gewählten dreidimensionalen Koordinatensystems, L_y und L_z sind entsprechenddie Abmessungen in den anderen beiden Raumrichtungen.

Der Buchstabe h, der ebenfalls unter der Quadratwurzel steht, klassifiziert die Ordnung der Harmonischen. Auch hier gibt der Index die jeweilige Ortskoordinate an.

Insgesamt stellen sich die Resonanzen im dreidimensionalen Raum deutlich komplexer dar als im zweidimensionalen.Zunächst sind die Hauptmoden 1. Ordnung (Grundresonanzen) in allen drei Raumrichtungen zu berechnen. Diese Grundresonanzen breiten sich in exakt eine Raumrichtung aus, daher kann nur eine der h-Koordinaten von Null verschieden sein. Setzt man beispielsweise h_x=1 und h_y=h_z=0, so erhält man die Grundresonanz in x-Richtung. Aus diesem Grund vereinfacht sich die komplexe Gleichung oben bei der Berechnung der Grundresonanzen deutlich. Im folgenden das Ergebnis, wobei wir v/2 gleich zu 170 berechnet haben:

Für die Berechnung der Nebenmoden 1. Ordnung nehmen wir wieder unsere obige Gleichung her, allerdings mit dem Unterschied, dass jetzt mindestens zwei der h-Variablen gleich eins gesetzt werden müssen. Daraus resultieren vier Nebenmoden erster Ordnung. Leider kann unsere Anfangsgleichung jetzt nicht mehr ganz so weit vereinfacht werden. Trotzdem fällt zumindest in drei Fällen ein Term unter der Wurzel weg:

Als nächstes erfolgt die Berechnung der zweiten Harmonischen. Dazu beginnt man wieder wie bei der Berechnung der Grundresonanzen, nur dass jetzt alle Möglichkeiten ausgeschöpft werden, in denen zwei h-Werte gleich Null und ein h-Wert gleich 2 ist:

Das sind nur die Hauptmoden 2. Ordnung. Nun müssen alle Möglichkeiten, dass ein h gleich zwei, eines gleich eins undeines gleich Null ist, durchgespielt werden. Anschließend kommt man auf weitere Resonanzfrequenzen, wenn man zwei h´s gleich zwei setzt und eines gleich null. Es müssen also alle Kombinationen an Zahlen durchgespielt werden, wobei jedes der drei h´s 0, 1 oder 2 als Wert annehmen darf. Erst dann hat man alle Nebenmoden 2. Ordnung berechnet. Harmonische höherer Ordnung erhält man dann genauso, allerdings liegt der Wertebereich der h´s zum Beispiel bei der dritten Harmonischen zwischen 0 und 3, bei der vierten zwischen 0 und 4, u.s.w. Man sieht, dass sich der Rechenaufwand enorm steigert, daher nochmals der Hinweis auf die Computerprogramme im Anhang an diesen Artikel sowie ein äußerst praktisches Online-Tool, mit dem Sie die wichtigsten Resonanzen für den quaderförmigen Hörraum schnell berechnen können. Doch auch ohne den PC lassen sich schon aussagekräftige Berechnungen durchführen. Dadurch, dass die Schallintensität mit der Ordnung der Resonanz stark abnimmt, also Resonanzen höherer Ordnung deutlich leiser ausfallen, als die Grundresonanz, genügt es in der Praxis eine Berechnung bis zweiter Ordnung durchzuführen (das ist gerade noch mit dem Taschenrechner zu bewerkstelligen).

Beispiel:
Wir wollen die ersten Resonanzfrequenzen eines quaderförmigen Hörraumes mit den Abmessungen

x = 3m,
y = 4m,
z = 2,5m

berechnen.

Zunächst berechnen wir die 3 Grundresonanzfrequenzen:



Deutlich ist zu sehen, dass alle Resonanzen im Bassbereich liegen. Als nächstes müssen die Harmonischen erster Ordnung berechnet werden.
Der Übersichtlichkeit wegen ist nur ein Beispiel der ersten drei Fälle voll ausgeführt:



Als letztes berechnen wir noch die ersten drei Harmonischen zweiter Ordnung.
Auch hier soll der Übersichtlichkeit halber die Ausführung auf ein Beispiel beschränkt bleiben:



Als Ergebnis lässt sich fest halten, dass der Beispielraum Resonanzen bei 42,5Hz, 56,7Hz, 68Hz, 70,8Hz, 80,2Hz, 85Hz, 88,5Hz, 98,3Hz, 113,3Hz und 136Hz aufweist. Beachten Sie, dass alle Frequenzen ausnahmslos im Bassbereich zu finden sind. Unberücksichtigt bleiben dabei Resonanzen höherer Ordnung als zwei. Klanglich werden sich sicher die Resonanzen erster Ordnung bei 42,5Hz, 56,7Hz und 68Hz am stärksten auswirken.

Doch was sagen nun diese Resonanzfrequenzen aus? Dazu betrachten wir obiges Bild. Es zeigt die Schalldruckminima (schwarz) und Schalldruckmaxima (weiß) bei Anregung eines Raumes mit den Abmessungen 3,4m x 5,4m mit einem Sinuston der Frequenz 163Hz. Die Schalldruckmaxima auf dem Bild kommen aufgrund von stehenden Wellen bedingten Effekten zustande, ebenso die Schalldruckminima. Klar dürfte sein, dass die Bäuche der stehenden Wellen die Maxima bilden, während Knoten zu Minima führen. Besonders extreme Knoten und Bäuche sind übrigens immer dann zu erwarten, wenn Harmonische verschiedener Ordnung die gleiche Resonanzfrequenz besitzen, wenn also beispielsweise die Resonanzfrequenz der Grundschwingung mit der der Harmonischen zweiter Ordnung übereinstimmt. In solchen Fällen sind bei dieser Frequenz starke klangliche Einbußen im Hörraum zu erwarten.

Versetzen Sie sich gedanklich in den Hörraum und variieren Sie Ihre Hörposition. Je nach deren Lage werden Sie vom 163Hz Ton viel hören, dann befinden Sie sich gerade in einem Wellenbauch, oder aber so gut wie gar nichts, wenn Sie Ihre Position in den Bereich eines Knotens gelegt haben. Wenn Sie nun zuhause in Ihrem Wohnzimmer eine ungünstige Hörposition einnehmen, wird Ihnen das gleiche geschehen. Sitzen Sie mittig im Raum, sitzen Sie fast garantiert in Bereich eines Knotens. Daher sollten Sie sich nicht wundern, wenn Sie von der Basswiedergabe Ihrer Lautsprecher nichts hören. Klingt Ihr Bass vielleicht dröhnend und aufdringlich? Dann haben Sie Ihren Hörplatz eher in einen Bauch verlegt. Wie Sie sehen haben stehende Wellen einen großen Einfluss auf die Basswiedergabe in Räumen. Wie man Fehler bei der Wahl der Sitzposition vermeidet, störende Resonanzen mindert oder gar stehende Wellen zu seinem eigenen Vorteil nutzt, das erfahren Sie im dritten Teil unseres Artikels zur Raumakustik.

Quellenangaben:

1. Handbuch der Elektroakustik; Günther Boye, Urbi F. Herrmann; Hüthig Buch Verlag Heidelberg; ISBN:3-7785-1575-6
2. TMR Audio
3. Dokument zur 5. Internationalen Internet- und Multimedia-Tagung (Zürich, 24.10.2002); "Raumakustik und Multimedia"; Autor: Kurt Eggenschwiler
4. sengpielaudio.co.uk
5. EMPA/HSR-Tagung 2001; "Holz in der Raumakustik"; Autor: Kurt Eggenschwiler
6. Klang - Musik mit den Ohren der Physik; John R.Pierce; Spektrum der Wissenschaft
7. Audio Consequent
8. Referat über Raumakustik

Computerprogramme zur Simulation der Raumakustik

1. Programm von TMR-Audio
2. CARA - Computer Aided Room Acoustics